В 1887 году знаменитый химик Д.И. Менделеев в своей книге «Исследование водных растворов по удельному весу» [Менделеев: 86] поставил следующую математическую задачу: для многочлена `f` второй степени, `|f(x)| \leq M`, `x \in [a, b]` , оценить `|f'(x)|` . Этот вопрос привел к появлению большого количества работ по различным типам дифференциальных неравенств для многочленов. Цель данной работы – получить модификацию теорем Бернштейна и Смирнова [Смирнов]; [Bernstein]. В классических исследованиях предполагалось, что все нули мажорирующего многочлена лежат в одной области (например, в единичном круге, правой полуплоскости и т. д.). Мы снимаем это требование, допуская, что один нуль находится в левой полуплоскости. Задача нашего исследования состоит в том, чтобы получить аналог неравенства Смирнова для случая, когда один нуль лежит в левой полуплоскости, и выяснить, какому множеству будет принадлежать параметр из неравенства Смирнова при определенных условиях.
* * * * *
Первой работой по дифференциальным неравенствам стала работа А.А. Маркова, который в 1889 году ответил на вопрос Менделеева для многочлена произвольной степени.
Обозначим `\mathcal{P}_n` - множество многочленов, степени не превосходящей `n\in\mathbb{N}` .
Теорема 1 [Марков, 1889]; [Марков, 1948: 51-75].
Пусть `f\in\mathcal{P}_n` и `|f(x)|\leq M` для x`\in[a,b]` . Тогда
`|f'(x)|\leq\frac{2n^2M}{b-a}, x\in[a,b]` .
Равенство выполняется только для
`f(x)=\pm M T_n (\frac{2x-a-b}{b-a})` , где `T_n=\cos(n\arccos x)` – многочлены Чебышёва.
В 1892 году В.А. Марков обобщил теорему 1 для производных произвольного порядка [Марков, 1892: 81-93]. Вопрос, поднятый Менделеевым, был сформулирован в книге Смирнова и Лебедева [Смирнов: 340] и назван задачей Менделеева:
пусть `B\subset\mathbb{C}` – компактное множество, `f(z)` многочлен, `\degf=n\geq 1` , `|f(z)|\leq M, z\in B`. Нужно оценить `|f'(z)|` для `z\in B`. Напомним, в первоначальной задаче компактом являлся отрезок `[a,b]` .
В.И. Смирнов рассмотрел случай комплексных многочленов и компактного множества `B=\partial \mathbb{D}`, где `\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:\;|z|lt1\}` – единичный круг.
Теорема 2
Пусть `f\in \mathcal{P}_n` и `|f(z)|\leq M` на `\partial \mathbb{D}`. Тогда на `\partial \mathbb{D}`
`|f'(z)|\leq Mn.`
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда `f(z)=Me^{i\gamma}z^n, \gamma \in\mathbb{R}` .
Теорему 2 можно переформулировать.
Теорема 3
Пусть `f\in \mathcal{P}_n` и `|f(z)|\leq |M z^n|` на `\partial\mathbb{D}` . Тогда на `\partial \mathbb{D} `
`|f'(z)|\leq |(M z^n)'|` .
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда `f(z)=Me^{i\gamma}z^n, \gamma \in\mathbb{R}`.
В 1930 году С.Н. Бернштейн получил обобщение теоремы 3, заменив многочлен `M z^n` на произвольный многочлен `F` степени `n`.
Теорема 4 [Bernstein].
Пусть `f ` и `F ` - многочлены, удовлетворяющие следующим условиям (*):
1) `\degf\leq \degF=n;`
2) `|f(z)|\leq|F(z)|` на `\partial\mathbb{D}`;
3) все нули многочлена `F` лежат в `\mathbb{\overline{D}}` .
Тогда, для `z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{D}` ,
`|f'(z)|\leq |F'(z)|` .
Для `z\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{\overline{D}}` равенство выполняется тогда и только тогда, когда `f(z)=Me^{i\gamma}z^n` , `\gamma \in\mathbb{R}` .
В.И. Смирнов получил обобщение теоремы 4. Для `R\geq1` через `\Omega_R` (рис. 1) обозначим образ круга `\{t \in\mathbb{C}: |t|\leq R\}` под действием отображения `\psi (t)=\frac{t}{1+t}` . Для `f\in\mathcal{P} _n, \alpha \in \mathbb{C}` , обозначим
`S_\alpha[f](z)=zf'(z)-n\alpha f(z)` – оператор Смирнова.
Теорема 5 [Смирнов: 356].
Пусть `R\geq 1` , `f` и `F` многочлены, удовлетворяющие условиям (*). Тогда,для `|z|=R` и `\alpha \in \Omega_R` (рис. 1),
`|S_\alpha[f](z)|\leq |S_\alpha[F](z)|` .
Для `\alpha \in` int`Omega_R` (рис. 1) и `z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{\overline{D}}` , равенство выполняется тогда и толькотогда, когда `f=e^{i\gamma} F, \gamma \in \mathbb{R}` .
Заметим, что при `\alpha=0` получается теорема 4.
Рис 1. `\Omega_R.`
Пусть задана область `G_{u_{0}}=\{z \in \mathbb{C} :|z-\frac{n}{2u_0}|gt\frac{n}{2u_0}\}, u_0gt0` .
Рис. 2. Область `G_{u_{0}}` , `u_0gt0.`
Для `u_0=0` : `G_{u_{0}}=\{z \in \mathbb{C} :\Re(z)\leq0\}.`
Рис. 3. Область `G_{u_{0}}` , `u_0=0`
Теорема 6 [Смирнов: 364].
Пусть `f` и `F` — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям:
1) `\deg f \leq \deg F = n`;
2) `|f(z)| \leq |F(z)|` на прямой `Re(z) = 0`;
3) все нули многочлена `F` лежат в полуплоскости `Re(z)gt0`.
Пусть `u_0\geq0` — фиксированное число.
Тогда для любого `z`, удовлетворяющего условию `Re(z) \leq - u_0` выполняется неравенство
|`f'(z)+\alpha f(z)| \leq |F'(z)+\alpha F(z)|` , (1) где `\alpha\in\overline{G}_{u_{0}}`.
Современные исследования по дифференциальным неравенствам для многочленов можно найти в ряде работ [Govil]; [Kompaneets, 2025: 23-43]; [Mir: 259-264]; [Rashid: 75-86]; [Rather: 101-117]; [Kompaneets, 2022: 388-397].
Новый результат. В теореме 6 предполагалось, что все нули многочлена лежат в правой полуплоскости `Re(z)gt0`. Но что будет, если ослабить ограничение на нули, допуская что один нуль лежит в левой полуплоскости `Re(z)lt0`?
Теорема 7
Пусть `f` и `F` — многочлены, удовлетворяющие следующим условиям:
1) `\degf \leq\deg F = n`;
2) `|f(z)| \leq |F(z)|` на прямой `Re(z)=0`;
3) `z_0lt0` – единственный нуль `k` -го порядка многочлена `F` , лежащий в полуплоскости `Re(z)\leq 0` , `1\leq k\leq n-1`; остальные нули многочлена `F` лежат в полуплоскости `Re(z)gt0` .
Пусть `u_0\geq0` — фиксированное число.
Тогда для любого `z` , удовлетворяющего условию `Re(z)\leq - u_0` , выполняется неравенство
`|f'(z) + \beta f(z)| \leq |F'(z) + \beta F(z)|` , (2)
для `\beta\inE_{u_{0}}` , где `E_{u_{0}}` – одно из следующих множеств:
1) полуплоскость
`{\beta\in\mathbb{C}:Re(\beta)\leq\frac{k}{z_0}}` ,
в случае, когда `z\inRe(z)=0, u_0=0` ;
2) дополнение к полосе
`{\beta\in\mathbb{C}: 0ltRe(\beta)lt\frac{n}{u_0}}` ,
в случае, когда `z,z_0\inRe(z)=-u_0, u_0gt0` ;
3.1) дополнение до кольца
`{\beta\in\mathbb{C}: rlt|\beta-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|lt\rho}` ,
где
`r=\frac{1}{2}(|\frac{k}{u_0+z_0}|-\frac{n}{u_0}),\rho=\frac{1}{2}(|\frac{k}{u_0+z_0}|+\frac{n}{u_0})` ,
если `z\inRe(z)=-u_0, u_0gt0, z_0\notinRe(z)=-u_0, r\geq{0}`;
3.2) внешность круга
`{\beta\in\mathbb{C}: |\beta-\frac{1}{2}\(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|lt\rho}` ,
если `z\inRe(z)=-u_0, u_0gt0, z_0\notinRe(z)=-u_0, rlt0` .
Стоит отметить, что похожее исследование уже проводилось Е.Г. Компанеец и В.В. Старковым в 2021 году [Компанеец, 2022]. Тогда рассматривался случай, когда все нули мажорирующего многочлена лежат в единичном круге `\mathbb{D}` , допуская при этом один нуль вне круга.
Доказательство. Обозначим `\overline{D_{u_0}}={z\in\mathbb{C}: Re(z) \leq - u_0}`. По условиям 2, 3 теоремы 7 многочлены `f` и `F` можно записать в следующем виде:
`f(z)=(z-z_0)^kf_1(z)` и `F(z)=(z-z_0)^kF_1(z)` , где `F_1(z_0)\ne0` . (3)
Заметим, что многочлены `f_1` и `F_1` удовлетворяют условиям 1, 2, 3 теоремы 6. Распишем для `f` и `F` неравенство (2):
`|f'(z)+\beta f(z)|\leq|F'(z)+\beta F(z)|` , (4)
`z\in\overline{D_{u_0}}` .
Подставим многочлены (3) в неравенство (4):
` |\beta(z - z_0)^k f_1(z) + k(z - z_0)^{k-1} f_1(z) + (z - z_0)^k f_1'(z)|\leq `` \leq |\beta(z - z_0)^k F_1(z) + k(z - z_0)^{k-1} F_1(z) + (z - z_0)^k F_1'(z)| ` ,
`z\in\overline{D_{u_0}}` .
Получаем
`|f_1(z)[\beta(z - z_0)^k + k(z - z_0)^{k-1}] + f_1'(z)(z - z_0)^k|\leq`` \leq|F_1(z)[\beta(z - z_0)^k + k(z - z_0)^{k-1}] + F_1'(z)(z - z_0)^k| ` , (5)
`z\in\overline{D_{u_0}}` .
Заметим, что при `z=z_0` неравенство (5) верно для любого `\beta\in\mathbb{C}` . Далее будем считать, что `z\ne{z_0}` . Перепишем (5) в виде
`|f_1(z)(z-z_0)^k[\beta+\frac{k}{z-z_0}]+f_1'(z)(z-z_0)^k|\leq|F_1(z)(z-z_0)^k[\beta+\frac{k}{z-z_0}]+F_1'(z)(z-z_0)^k|` , (6)
`z\in\overline{D_{u_0}}` .
Разделим (6) на `(z-z_0)^k\ne0` и получим:
`|f_1(z)(\beta+\frac{k}{z-z_0})+f_1'(z)|\leq|F_1(z)(\beta+\frac{k}{z-z_0})+F_1'(z)|` , (7)
`z\in\overline{D_{u_0}}` .
Обозначим
`\alpha=\beta+\frac{k}{z-z_0}` . (8)
Тогда неравенство (7) принимает вид (2).
Найдем множество изменения параметра `\beta` в неравенстве (2).
1. Рассмотрим случай, когда `z` лежит на прямой `Re(z)=0`. Выразим из (8) параметр `\beta`:
`\beta=\alpha-\frac{k}{z-z_0}` . (9)
По теореме 6 параметр `\alpha` лежит в множестве `\overline{G}_{u_{0}}` (рис. 3). Значит, для фиксированного `z` , `Re(z)=0` , множество `B_z` изменения параметра `\beta` получается сдвигом `\overline{G}_{u_{0}}` на `-\frac{k}{z-z_0}` :
`B_z={z\in\mathbb{C}: Re(z)\leq c}` . (10)
Образ прямой `Re(z)=0` под действием отображения `-\frac{k}{z-z_0}` - это окружность с центром `\frac{k}{2z_0}` и радиусом `\frac{k}{2z_0}` (рис. 4), поэтому для всех `z` , таких что `Re(z)=0`, параметр c из (10) лежит в отрезке `[\frac{k}{z_0},0]` .
Рис. 4. Окружность `C_{u_{0}}`
Тогда искомое множество
`E_{u_{0}}=\bigcap_{Re(z)=0} B_z={\beta\in\mathbb{C}:Re(\beta)\leq\frac{k}{z_0}}` . (11)
Рис. 5. Множество `E_{u_0}` , `u_0=0`
2. Рассмотрим случай, когда `z` лежит на прямой `Re(z)=-u_0, u_0gt0, z_0` тоже лежит на этой прямой. По (9):
`\beta=\alpha-\frac{k}{z-z_0}` .
По Теореме 6 параметр `\alpha` лежит в множестве `\overline{G_{u_0}}` (рис. 2):
`\overline{G_{u_0}} = { z \in \mathbb{C} : | z - \frac{n}{2u_0} | \ge \frac{n}{2u_0} }` .
Выполняя сдвиг `\overline{G_{u_0}}` согласно (9) на `-\frac{k}{z-z_0}` , мы получаем множество `B_z` изменения параметра `\beta` , при фиксированном `z:`
`B_z =\{ z \in \mathbb{C} : | z - (\frac{n}{2u_0} - \frac{k}{z - z_0}) | \geq \frac{n}{2u_0}}` .
Образом прямой `Re(z)=-u_0, u_0gt0` , под действием `-\frac{k}{z-z_0}` , является прямая `Re(z)=0` (мнимая ось). Тогда центры кругов `B_z` лежат на прямой `Re(z)=\frac{n}{2u_0}` . Поэтому искомое множество `E_{u_0}` (рис. 6) является дополнением к полосе `{z\in\mathbb{C}: 0ltRe(z)lt\frac{n}{u_0}}` :
`E_{u_0} = \bigcap_{Re(z)=-u_0} B_z={\beta\in\mathbb{C}: \Re(\beta)\leq0\}\cup\{\beta\in\mathbb{C}: Re(\beta)\geq\frac{n}{u_0}}` .
Рис. 6. Множество `E_{u_0}, z, z_0\inRe(z)=-u_0.`
3. Рассмотрим случай, когда `z` лежит на прямой `Re(z)=-u_0, u_0gt0` , причем` z_0` не лежит на этой прямой. Возможно 2 ситуации:
`z_0gt-u_0` и `z_0lt-u_0`
По (9):
`\beta=\alpha-\frac{k}{z-z_0}` .
По Теореме 6 параметр `\alpha` лежит в множестве `\overline{G_{u_0}}` . Тогда, аналогично рассуждениям из случая 2, приходим к множеству `B_z` изменения параметра `\beta` , при фиксированном `z` :
`B_z = { z \in \mathbb{C} : | z - (\frac{n}{2u_0} - \frac{k}{z - z_0}) | \geq \frac{n}{2u_0}}` , (13)
т.е. `B_z` - внешность круга радиуса `\frac{n}{2u_0}` с центром `c_z=\frac{n}{2u_0}-\frac{k}{z-z_0}` .
`a) ` Пусть `z_0gt-u_0` . В этом случае, образом прямой `Re(z)=-u_0` , под действием `-\frac{k}{z-z_0}` , является окружность `C_{u_0}` , проходящая через начало координат:
`C_{u_0}={z\in\mathbb{C}: |z-\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}|=\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}}` .
Заметим, что центры `c_z` окружности `\partialB_z` получаются сдвигом точки `\frac{n}{2u_0}` на точки, лежащие на окружности `C_{u_0}` . Тогда `c_z` лежат на окружности
`C_1_u_0={z\in\mathbb{C}:|z - \frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})| = \frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}}` .
`a_1` ) Если `\frac{n}{2u_0}\leq\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}` , т.е. `(n-k)u_0+nz_0\leq0` , то искомое множество `E_{u_0} = \bigcap_{Re(z)=-u_0} B_z` является дополнением к кольцу `K_{u_0}` :
`K_{u_0}={z\in\mathbb{C}: \frac{1}{2}(\frac{k}{z_0+u_0}-\frac{n}{u_0})lt|z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{z_0+u_0})|lt\frac{1}{2}(\frac{k}{z_0+u_0}+\frac{n}{u_0})}` .
Обозначим `\rho` и `r` – радиусы окружностей, образующих кольцо `K_{u_0}` :
`\rho=\frac{1}{2}(\frac{k}{z_0+u_0}+\frac{n}{u_0})` – радиус внешней окружности;
`r=\frac{1}{2}(\frac{k}{z_0+u_0}-\frac{n}{u_0})` – радиус внутренней окружности.
Тогда искомое множество можно записать в виде (14):
`E_{u_0}={z\in\mathbb C:|z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|\geq\rho}\cup{z\in\mathbb C:|z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|\leq r}` . (14)
Рис. 7. Множество `E_{u_0}`
`a_2)` Если `\frac{n}{2u_0}gt\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}` , т.е. `(n-k)u_0+nz_0gt0` , то искомое множество `E_{u_0} = \bigcap_{Re(z)=-u_0} B_z` является дополнением до круга `S_{u_0}` :
`S_{u_0}={z\in\mathbb{C}: |z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{z_0+u_0})|lt\rho}` .
Тогда искомое множество можно записать в виде (15):
`E_{u_0}={z\in\mathbb C:|z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|\geq\rho}` . (15)
Рис. 8. Множество `E_{u_0}`
`b)` Пусть `z_0lt-u_0` . В этом случае образом прямой `Re(z)=-u_0` , под действием `-\frac{k}{z-z_0}` , будет окружность `L_{u_0}` :
`L_{u_0}={z\in\mathbb{C}: |z-\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}|=-\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}}` .
В этом случае центры `c_z` окружности `\partialB_z` получаются сдвигом точки `\frac{n}{2u_0}` на точки, лежащие на окружности `L_{u_0}`. Тогда центры кругов` B_z` в (13) лежат на окружности
`L_1_u_0={z\in\mathbb{C}:|z - \frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|= -\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}}` .
`b_1)` Пусть `\frac{n}{2u_0}+\frac{1}{2}\frac{k}{u_0+z_0}\leq0` , т. е. `u_0(n+k)+nz_0\leq0` . Тогда искомое множество `E_{u_0}=\bigcap_{Re(z)=-u_0} B_z` – дополнение к кольцу
`K_1_u_0={z\in\mathbb{C}: \frac{1}{2}(-\frac{k}{u_0+z_0}-\frac{n}{u_0})lt|z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|lt\frac{1}{2}(-\frac{k}{u_0+z_0}+\frac{n}{u_0})}` .
Рис. 9. Множество `E_{u_0}`
`b_2)` Пусть ` (n)/(2u_(0))+1/2 * k/(u_(0)+z_(0)) > 0,` т. е. `u_(0)(n+k) + nz_(0) > 0.`
Тогда искомое множество `E_{u_0}` = `nn_(Re(z) = -u_(0)) B_(z)` – это внешность круга.
`\Gamma_{u_0}={z\in\mathbb{C}: |z-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|lt\frac{1}{2}(-\frac{k}{u_0+z_0}+\frac{n}{u_0})}` .
Рис. 10. Множество `E_{u_0}`
Объединив случаи `a)` и `b)` получим, что искомое множество `E_{u_0}` в случае, когда `z` лежит на прямой `Re(z)=-u_0` , `u_0gt0` , а `z_0` не лежит на `Re(z)=-u_0` имеет вид:
`E_{u_0}=`
`{\beta\in\mathbb C:|\beta-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})t|\geq\rho}\cup{\beta\in\mathbb C:|\beta-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|\leq r}, r\geq 0, `
`{\beta\in\mathbb C:|\beta-\frac{1}{2}(\frac{n}{u_0}+\frac{k}{u_0+z_0})|\geq\rho}, rlt0,`
где (16)
`R=\frac{1}{2}|\frac{k}{u_0+z_0}|,`
`\rho=\frac{1}{2}(|\frac{k}{u_0+z_0}|+\frac{n}{u_0}),`
`r=\frac{1}{2}(|\frac{k}{u_0+z_0}|-\frac{n}{u_0}).`
Рис. 11. Множество `E_{u_{0}}`; `z\in\Re(z)=-u_0; z_0\notinRe(z)=-u_0`
* * * * *
В ходе исследования работы была подробно изучена история задачи оценки производных многочленов, поставленной Д.И. Менделеевым в 1887 году. Были рассмотрены классические результаты А.А. Маркова, В.А. Маркова, С.Н. Бернштейна и В.И. Смирнова. В большинстве из них предполагалось, что все нули мажорирующего многочлена лежат в одной области (единичном круге или правой полуплокости). На основе современного результата, полученного Е.Г. Компанеец и В.В. Старковым, возник вопрос: можно ли получить аналог теоремы В.И. Смирнова, предположив, что один нуль многочлена лежит в левой полуплоскости, а остальные – в правой?
Ответом на поставленный вопрос является сформулированная и доказанная в работе теорема 7. В ходе доказательства было получено обобщение (аналог) неравенства Смирнова для нового случая. Существенным результатом является описание искомого множества изменения параметра `\beta`. Установлено, что структура этого множества зависит от взаимного расположения `z, z_0` относительно прямой `Re(z)=-u_0` , причём `z_0lt0`.
Таким образом, поставленная цель работы достигнута: получен аналог неравенства В.И. Смирнова и определено множество изменения параметра `\beta`, при котором новое неравенство остаётся верным.
Список литературы
Марков А.А. Об одном вопросе Д.И. Менделеева // Известия Императорской Академии наук. 1889. Т. 62, № 4. С. 1-24.
Марков А.А. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Москва; Ленинград: ОГИЗ, Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1948. 412 с.
Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. Санкт-Петербург: Тип. Императорской академии наук, 1892. 111 с.
Менделеев Д.И. Исследование водных растворов по удельному весу. Санкт-Петербург: Тип. В. Демакова, 1887. 312 с.
Смирнов В.И. Конструктивная теория функций комплексного переменного / В.И. Смирнов, Н.А. Лебедев. Москва: Наука, 1964. 555 с.
Bernstein S. Sur la limitation des dérivées des polynômes // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. 1930. Т. 191. С. 338-341.
Kompaneets E.G. On removing restrictions in the Bernstein theorem and its modifications / E.G. Kompaneets, V.V. Starkov, E.S. Shmidt // Issues of Analysis. 2025. Vol. 14(32), No. 3. P. 23-43. DOI: 10.15393/j3.art.2025.19212
Govil N.K. Progress in approximation theory and applicable complex analysis. In memory of O.I. Rahman / N.K. Govil, R. Mohaptra, M.A. Qazi, G. Schmeisser // Springer Optimization and Its Applications. 2017. Vol. 117. 519 p. DOI: 10.1007/978-3-319-49242-1
Kompaneets E.G. On the Smirnov type inequality for polynomials / E.G. Kompaneets, V.V. Starkov // Mathematical Notes. 2022. Vol. 111. № 3. P. 388-397. DOI: 10.1134/S0001434622030063
Kompaneets E.G. Smirnov and Bernstein type inequalities, taking into account higher-order coefficients and free terms of polynomials / E.G. Kompaneets, L.G. Zybina // Issues of Analysis. 2024. Vol. 13(31), No. 1. P. 3-23. DOI: 10.15393/j3.art.2024.14270
Mir M.Y. Application of Gauss–Lucas theorem to the inequalities for polynomials / M.Y. Mir, W.M. Shah // Vestnik St. Petersburg University, Mathematics. 2025. Vol. 58, No. 2. P. 259-264. DOI: 10.1134/S1063454125700244
Rashid R. Generalized Bernstein-type inequalities for rational functions with restriction on zeros and poles / R. Rashid, W.M. Shah // The Journal of Analysis. 2026. Vol. 34. P. 75-86. DOI: 10.1007/s41478-025-00992-9
Rather N.A. Integral mean estimate for polynomials with restricted zeros / N.A. Rather, N. Wani, A. Bhat // Issues of Analysis. 2024. Vol. 13(31), No. 3. P. 101-117. DOI: 10.15393/j3.art.2024.16050