Самусенко Т. А. Нормированные решётки измеримых функций и порядковые свойства нормы // StudArctic forum. Выпуск 1 (9), 2018, DOI: 10.15393/j102.art.2018.2821


Выпуск № 1 (9)

Математика и механика

pdf-версия статьи

Нормированные решётки измеримых функций и порядковые свойства нормы

Самусенко Тимур Александрович
Петрозаводский государственный университет (пр. Ленина, 33),
timur.a.samusenko@gmail.com
Научный руководитель:
Шестаков Владимир Александрович
Ключевые слова:
порядковые свойства нормы
измеримые функции
Аннотация: Статья «Нормированные решетки измеримых функций и порядковые свойства нормы» посвящена некоторым вопросам о свойствах нормы в нормированных пространствах измеримых функций.
Статья поступила: 08.06.2018; Принята к публикации: 13.07.2018;

Основной текст

Данная работа посвящена некоторым вопросам о свойствах нормы в нормированных пространствах измеримых функций и является продолжением выпускной работы автора на степень бакалавра.

Приведены условия (A) (порядковая непрерывность нормы), (B) (монотонная полнота нормы), (C) (порядковая полунепрерывность нормы), которыми норма в нормированном идеальном пространстве (НИП) измеримых функций может обладать, а может не обладать. Суть этих условий навеяна утверждениями из теорем Леви, Фату, Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Здесь же приведены примеры пространств, демонстрирующих, что эти условия независимы друг от друга. 

В статье рассматриваются условия (Cλ), (C), более слабые, чем условие (C). Здесь также получена связь между условиями (Cλ) при различных λ и приведён пример НИП, в котором не выполняется условие (C).
Приведены и доказаны утверждения, что условие (D) и диагональное условие (D2) эквивалентны условию (B) (свойство Фату монотонной полноты нормы). 

 

Предварительные сведения и терминология 

В терминологии и обозначениях из теории нормированных пространств измеримых функций мы будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в монографии [1]. 

Пусть (T,Σ,μ) — пространство с мерой. Здесь T — множество; Σ — σ-алгебра его подмножеств; μ — полная σ-конечная мера на Σ (σ-конечность меры означает, что существует представление такое, что , а полнота μ означает, что A ⊂ B ∈ Σ, μ(B) = 0 следует A ∈ Σ и, следовательно, μ(A) = 0).

Через S = S(T, Σ, μ) обозначается множество всех, почти всюду (п.в.) конечных измеримых функций на T. Эквивалентные функции, то есть совпадающие почти всюду на T , будем отождествлять. Если x ∈ S (x — класс эквивалентных между собой функций), то через x(t) будем обозначать любую функцию из класса x, причём можно считать, что x(t) конечна для любого t. 

Элементы x,y ∈ S называются дизъюнктными (обозначение: xdy), если x(t)·y(t) = 0 п.в. Для последовательности xn ∈ X (n = 1, 2, . . .) по определению полагают (sup xn)(t) = sup xn(t), t ∈ T . n

В S можно ввести частичный порядок, полагая для x,y ∈ S, по определению x ⩽ y, если x(t) ⩽ y(t) п.в.

Пусть xn,x ∈ S(1, 2, . . .). Говорят, что:

1) xn возрастает (xn ↑), если xn+1 ⩾ xn, ∀n;
2) xn возрастает вбок (xn ↑_), если xn ↑ и (xn+1 − xn)dxn;
3) xn возрастает к x (xn ↑ x), если xn ↑ и xn(t) → x(t) п.в.;
4) xn возрастает вбок к x (xn ↑_ x), если xn возрастает вбок и xn ↑ x. 

Аналогично определяются последовательности {xn} убывающие (xn ↓), убывающие вбок (xn ↓_), убывающие к x (xn ↓ x), убывающие вбок к x (xn ↓_ x)

Для x ∈ S модуль |x| определяется по формуле: |x|(t) = |x(t)|.

Идеальным пространством (ИП) на (T,Σ,μ) называется подмножество X ⊂ S, такое, что:

1) X — линейно (x, y ∈ X → αx + βy ∈ X);
2)(x∈X, y∈S, |y|⩽|x|)⇒y∈X.

Возрастающая последовательность  в ИП X называется порядково ограниченной сверху в X (ограниченной по упорядочению), если ∃y ∈ X, такой, что x ≤ y для всех n ∈ N. Если возрастающая последовательность  не ограченна в X, то пишут xn ↑ +∞. Норма ||·|| на ИП X называется монотонной, если ∀x, y ∈ X, |x| ⩽ |y|⇒||x|| ⩽ ||y||. В частности, |||x||| = |x|. Нормированным идеальным пространством (НИП) на (T,Σ,μ) называется ИП, снабжённое монотонной нормой. Полное по норме НИП называется банаховым идеальным пространством (БИП).

Хорошо известны следующие классические теоремы из математического анализа о предельном переходе под знаком интеграла Лебега (см., например, [1]).

Теорема 1 (Леви) Если xn ∈S, xn(t)⩾0 и xn ↑x, то

 

Теорема 2 (Фату) Если xn ∈ S, x(t) ⩾ 0 и xn(t) → x(t) п.в., то 



Теорема 3 (Лебег) Пусть

       1) xn(t) → x(t) п.в. на T;
       2) ∃ суммируемая функция y такая, что |xn(t)| ⩽ y(y) п.в. Тогда x — суммируема и 

Порядковые свойства нормы

Монотонная норма в НИП может обладать различными порядковыми свойствами (см., например, [1], [2], [3]).
Следующие три условия, налагаемые на произвольную норму в НИП X, являются перефразировкой вышеуказанных теорем Леви, Фату и Лебега с формальной заменой интеграла (норма в пространстве L1) нормой в X.

Пусть (X, ||·||) — НИП на (T, Σ, μ). Говорят, что
1) норма в X (порядково) непрерывна, если выполнено условие (A): из X∋xn ↓0 следует ||xn||→0;
2) норма в X (порядково) монотонна полна, если выполнено условие (B): 0⩽xn ↑, xn ∈X, sup||xn||n ∈X;
3) норма в X (порядково) полунепрерывна, если выполнено условие (C): 0⩽xn ↑x∈X ⇒lim||xn||=||x||.

Ясно, что (A)⇒(C) (обратное неверное (см. пример 4)). Действительно, если xn↑x, то x−xn  ↓ 0 в силу (A): ||xn−x||→0,а так как ||xn||⩾ ||x|| − ||x − xn||, то lim ||xn|| ⩾ ||x||. Обратное неравенство lim ||xn|| ⩽ ||x|| следует из монотонности ||xn|| ⩽ ||x||. Как показывают следующие примеры, других связей между этими порядковыми свойствами, вообще говоря, нет.


Примеры

1. Из теорем Леви, Лебега и Фату о предельном переходе под знаком интеграла следует, что в пространстве L1(T) с обычной нормой  выполнены все условия (A), (B), (C). 

2. Простраство c0 с обычной нормой удовлетворяет условию (A) и не удовлетворяет условию (B). Действительно, пусть 0 ⩽ xn ∈ c0; xn ↓ 0. Если ,причём для  
.  Пусть ε > 0. Далее . Существует k0 такое, что  при k>k0. Тогда  при k>k0 и любом n. Так как  при n ↑ ∞ и k = 1,2,...,k0 , то ∃n0 такое, что все . Тогда при , то есть lim||xn||=0. 

3. Приведём пример пространства со свойством (B) и без свойства (C).
Рассмотрим пространство l. Для  полагаем 
В l можно рассмотреть и обычную норму ||x|| = sup|ak|, а так как ||x|| ⩽ ||x|| ⩽ 2||x||, то эти две нормы эквиваленты и так как ||·|| очевидно удовлетворяет свойству (B), то и рассматриваемая норма ||·|| также обладает свойством (B). Положим xn = (1,...,1,0,...), x = (1,...,1,1,...). Тогда 0⩽xn↑x, ||xn||=1, а ||x||=2,то есть lim||xn||≠||x|| или в X не выполнено свойство (C). 

4. Пространство c0 с обычной нормой удовлетворяет условию (B) и (C) и не удовлетворяет условию (A). Действительно, пусть xn = (0, . . . , 0, 1, . . .), xn↓ = (0,0,...,0)=0,но  ,то есть в X нет (A).Тогда  (то есть ) при n→∞. И ||x||⩽C, 

Если заменим во всех трёх условиях (A), (B), (C) монотонные последовательности последовательностями монотонными вбок, то получим формально более слабые условия (Ad), (Bd), (Cd). Однако (см. [1]) эти условия эквиваленты: (A) ⇔ (Ad), (B) ⇔ (Bd), (C) ⇔ (Cd).

 

Другие специальные порядковые свойства нормы в НИП

Пусть число λ⩾1. Говорят, чтоX∈(Cλ), если из 0⩽xn↑x∈X следует ∥x∥ ⩽ λlim||xn||. Ясно, что если λ < μ и X ∈ (Cλ), то X ∈ (Cμ). Покажем, что обратное неверно. 

Пример 1
    Пусть 1⩽λ∞ по составу элементов и для

Покажем, что . Положим

Тогда ||xn||=1 и xn ↑x=(1,...,1,1,...)=x, а ||x||=μ>λlim||xn|| и, следовательно, .


Проверим, что X ∈ (Cμ). Пусть , а x = (a1,a2,...,ak,...). Тогда xn↑x и для любого k получаем,

Тогда .

Говорят, что в X выполнено условие (C) (X ∈ C), если ∃λ ⩾ 1 такое, что x ∈ (Cλ). 

Пример 2
    Здесь мы приведём пример НИП (X, ||·||), в котором не выполнено условие (C). Пусть k — натуральное число. Рассмотрим Xk = l по составу и для x ∈ Xk  ||x||k = sup |ak| + klim|ak|. Тогда , так как если

Строим пространство X по типу l , точнее , где все Xk = l по составу. Элементы этого пространства  т.ч. 
Итак,  — матрица, т.ч. 



Достаточно показать, что  для любого натурального N. Пусть xn =(akn),где akn=1 при1⩽k⩽n, 1⩽m⩽N+1, остальные akn =0



Тогда xn ↑x=(bkm),где bkm=1 при 1⩽kkm= 0


Тогда легко видеть, что ||xn||=1, а ||x|| = N + 1. Поэтому .


Как уже указано ранее, условия (B) и (C) независимы друг от друга. И, например, из условия (B) не следует условие (C). Однако, как показывает следующее утверждение, из условия (B) следует формально более слабое условие (C), т.е. при выполнении условия (B) выполняется условие (Cλ) при некотором λ ⩾ 1. 

Теорема 4 
Если X ∈ (B), то X ∈ (C).

Доказательство. Пусть это не так, т.е.  для любого X. Так как 2n ·m не является числом λ, то  и  . Положим yn =x1n +x2n +...+xnn. Тогда 
yn+1 = x1,n+1 +x2,n+1 +...+xn,n+1 +xn+1,n=1, то есть 0 ⩽ yn ↑ и 

По (B) ∃z∈X т.ч. yn⩽z, ∀n. Если m фиксированно, то xmn⩽yn⩽z, и поэтому am⩽z, то есть m⩽||z|| для всех натуральных чисел m.


О свойстве монотонной полноты нормы в НИП

В этом пункте мы приведём два свойства в НИП X, которые эквивалент- ны условию (B) — свойству монотонной полноты нормы.

Говорят, что НИП X удовлетворяет условию (D) (X ∈ (D)), если для любой последовательности xn такой, что
0⩽xn↑∞, существует такая числовая последовательность ξn↓0, что  не ограничена в X по упорядочению.

Будем говорить, что НИП X удовлетворяет условию (D2) (X ∈ (D2)), если из того, что  для любого n следует что существует такая последовательность индексов mn (n = 1, . . .) такая, что  не ограничена по упорядочению в X.

Лемма 1  Пусть X — НИП. Тогда, если X ∈(D2), то X ∈(D). Действительно, пусть 0 ⩽ xn ↑ +∞. Положим  , (m,n= 1,2,...). Тогда  для любого n. Так как x ∈ (D2), существует , что  не ограничена в X, то есть  не ограничена. Положим,

 


Нетрудно видеть, что последовательность mn возрастающая. Ясно, что тогда  не ограничена в X.


Теорема 5
Для любого пространства X (БИП) следующие утверждения эквивалентны:
1) в X выполнено (B),
2) в X выполнено (D),
3) в X выполнено (D2).


Проведём доказательство про схеме (3) ⇒ (2) ⇒ (1) ⇒ (3). Импликация (3) ⇒ (2) доказана в лемме 1. Докажем импликацию (2) ⇒ (1): достаточно убедиться, что в X выполнено (Bd). Допустим противное, то есть существует последовательность 0 ⩽ xn ↑_  и sup||xn||< +∞. Допустим, что sup xn = +∞ в X по умолчанию. Положим, y1 = x1; yk = xk − xk−1. Тогда yidyi (i ≠ j). Рассмотрим ряд:


Тогда при m < n имеем  Поэтому  сходится по мере (т.к. X — банахово). Пусть  (сходимость ряда по норме). Тогда:

для любого n, то есть ξnxn ограничена по упорядочению.


Наконец, докажем импликацию (1) ⇒ (3): пусть  для любого n. В силу (B) справедливо  для любого n. За mn берём такой индекс, что . А тогда  не ограничена по упорядочению, так как не ограничена по норме, то есть в X выполнено (D2).  


Список литературы

[1] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ / М.: Наука. Изд. 3-е, 2004 - с. 752

[2] П. П. Забрейко. Идеальные пространства функций / Вестник Ярославского университета, 2003., Выпуск 8, с. 12—52

[3] W. A. J. Luxemburg, A. C. Zaanen. Riesz spaces. Vol. I. North-Holland Mathematical Library. North-Holland Publishing Co., Amsterdam — London; Americam Elsevier Publishing Co., New York, 2005, p, 521

[4] Т. А. Самусенко. Порядковые свойства нормы в пространствах измеримых функций. Выпускная квалификационная работа, 2015



Просмотров: 300; Скачиваний: 69;

DOI: http://dx.doi.org/10.15393/j102.art.2018.2821